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 Équation diffrentielle

         

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: 16/05/2008

: Équation diffrentielle    06, 2008 5:32 pm

Équation diffrentielle

En mathmatiques, une quation diffrentielle est une quation qui dcrit les relations entre une ou plusieurs fonctionss inconnues et leurs drives. L'ordre d'une quation diffrentielle dcrit le degr maximal de diffrentiation auquel une des fonctions inconnues y a t soumise.

Les quations diffrentielles sont utilises pour construire des modles mathmatiques de phnomnes physiques, par exemple la dynamique des fluides et la mcanique cleste. Par consquent, les quations diffrentielles reprsentent un vaste champ d'tude, aussi bien en mathmatiques pures qu'appliques.

Soient y une fonction de x et y′, y′′, ...,y (n) les drives dy/dx, d 2y/dx 2, ..., d ny/dx n de la fonction y.

Par dfinition, une quation diffrentielle ordinaire est une quation liant x, y, y′, y′′,.... L'ordre de cette quation diffrentielle est l'ordre n de la plus haute drive y apparaissant.

Un cas particulier important est celui o x n'apparat pas dans les quations (en dehors du signe de diffrentiation). De telles quations sont dites autonomes. Pour ces quations diffrentielles, l'espace peut tre partag en classes d'quivalence par l'appartenance (ou non) des points une mme solution. Ces quations diffrentielles sont des champs de vecteurs. Pour une quation du premier ordre, cela signifie que les solutions sont une famille de courbes qui ne se coupent pas (d'aprs le thorme de Cauchy-Lipschitz) et qui remplissent l'espace. Puisque les lois de la physique ne changent pas dans le temps (pense-t-on), le monde est gouvern par de telles quations diffrentielles.

Rsoudre une quation diffrentielle revient trouver une fonction y dont les drives sont solutions de l'quation. Par exemple, l'quation diffrentielle y′′ + y = 0 a une solution gnrale:


y = A cosx + B sinx,

o A, B sont des constantes dtermines grce aux conditions aux limites. Dans le cas o les quations sont des quations linaires, la solution peut tre trouve en sparant l'quation d'origine en des quations plus petites, les rsoudre, puis ajouter leurs rsultats.

Beaucoup d'quations diffrentielles intressantes ne sont toutefois pas linaires, ce qui veut dire qu'elles ne peuvent pas tre rsolues de cette faon. Il y a galement quelques techniques pour rsoudre approximativement les quations diffrentielles en utilisant un ordinateur, notamment la mthode des lments finis et les techniques de relaxation.

Les quations diffrentielles ordinaires doivent tre diffrencies des quations aux drives partielles, o y est fonction de plusieurs variables et qui impliquent des drives partielles
    
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